사망률 예측 모형의 발전 과정

본 보고서는 Genus에서 2018년에 발간한 “Advance in Mortality Forecasting”를 참고하여 작성

I		목적

□ 사회적, 경제적 국가 정책 수립을 위한 인구의 규모와 인구 구조 변화에 대한 연구 발달

ㅇ  사망수준 개선과 고령화를 반영한 사망률 예측 모형 중요성 증대

ㅇ  미래의 사망률에 대한 예측은 불확실성을 내포하고 있으며 이러한 불확실성을 고려한 사망률 모형에 대한 연구가 진행되어 옴

- 고연령 사망률이 지수함수 형태로 증가하는 것이 아니라 사망률의 증가율이 둔화된 형태를 보인다는 대립되는 논의가 존재

연령대별 평균 사망률 개선도 추이

남성                               여성

출처 : 통계청

□ 본 보고서에서는 사망률 예측 모형의 발전 과정을 소개하고 요율 산출 개선 방안에 대한 시사점 도출

Ⅱ		사망률 예측 모형 발전 과정

□ Lee-Carter 모형(1992)

ㅇ  로그 변환된 사망률에 연령효과와 시간효과를 선형으로 반영하는 모형

- 시간에 따른 전반적인 사망률 개선정도를 나타내는 사망률 지수([eqn: `k _{t}])만 시간에 의존하므로 [eqn: `k _{t}]의 추정을 통해 미래 사망률을 예측

- LC모형은 구조가 간단하여 사망률 연구에 가장 기본적인 모형으로 사용됨

- 사망률 예측 모형들은 LC모형의 기본을 유지하면서 실제 적용상에서 발생하는 문제점들을 해결하면서 개발됨

[eqn: ln(m _{x,t} )=a _{x} `+`b _{x} k _{t} `+ϵ _{x,t} ```,``````````t=1,...,n]

[eqn: m _{x,t}]: 연령 x와 시간 t에서의 사망률

[eqn: a _{x} `]: 각 연령의 평균적인 로그사망률(상수)

[eqn: `b _{x}]: 각 연령에서 로그사망률의 민감도(상수)

[eqn: `k _{t}]: 시간 t에 따른 로그사망률 변동 추세

[eqn: ϵ _{x,t}]: 평균 0, 분산 σ2ϵ인 오차항

제약조건: [eqn: sum _{t} ^{} _{} k _{t} =0,` sum _{x} ^{} b _{x} =1 ^{}]

데이터 전처리

□ Lee-Carter 모형(1992) → Lee-Miller 모형(2001)

ㅇ  Lee-Carter 모형은 시간의 경과와 관계없이 연령별 사망률의 변화([eqn: `b _{x}])가 일정하다 가정하였으나 전쟁으로 인해 사망률에 구조적 변화 발생하여 해당 시점 이후의 데이터를 사용

ㅇ  [eqn: `k _{t}]를 조정할 때 연도별 사망자수가 추가적으로 필요한 문제를 t년도의 기대수명을 활용하여 해결

ㅇ  자료의 마지막 연도에서의 예측값과 관측값의 불일치로 인하여 발생하는 편의(bias)를 줄이기 위해 마지막 연도의 추정값 대신 실제값을 사용함

□ Lee-Carter 모형(1992) → Booth-Maindonald-Smith 모형(2002)

ㅇ  연령별 사망자수 추정값와 실제값의 차이를 최소화하는 최적 모형 추정 기간을 설정

ㅇ  Lee-Carter모형과 같이 [eqn: `k _{t}]를 총 사망자수로 조정하면 연령별 사망자수 분포에 왜곡이 발생하여 연령별 사망자수([eqn: `D _{x,t}])를 이용

ㅇ  마지막 연도의 관찰값과 예측값의 불일치로 인한 편의(bias)는 연령별 사망자수 분포에 추정값을 이용하여 해결

참 고		Booth-Maindonald-Smith 모형(2002)
1. 적합도 통계를 이용하여 최적 모형 추정 기간 설정 [eqn: deviance _{t} =2 sum _{x} ^{} [D _{x,t} TIMES `ln( {D {} LSUB {x,t}} over {D _{x,t}^{prime }} )`-`(D - LSUB {x,t}D _{x,t}^{prime } )]`] [eqn: D _{x,t}]: 연령별 사망자수 [eqn: D ^{'} _{x,t}]: 추정된 연령별 사망자수 [eqn: D ^{'} _{x,t} =N _{x,t} `·exp(a _{x} `+`b _{x} k _{t}^{'} )] [eqn: N _{x,t}]: 인구수 [eqn: k _{t}^{prime }]: 재조정된 [eqn: `k _{t}] 2. 연령별 사망자수 이용 [eqn: ln(D _{x,t} )=ln(N _{x,t} )`+`ln(m ^{'} _{x,t} )`+ϵ ^{'} _{x,t}] [eqn: `ln(m _{x,t}^{prime } )`=`a _{x} `+`b _{x} ·k _{t}^{'}] [eqn: a _{x} `]: 각 연령의 평균적인 로그사망률(상수) [eqn: `b _{x}]: 각 연령에서 로그사망률의 민감도(상수) [eqn: k _{t}^{prime }]: 재조정된 [eqn: `k _{t}] [eqn: ϵ _{x,t}^{prime }]: 조정 후의 오차

2. 집단 간 연관성 고려

□ Lee-Carter 모형(1992) → Coherent LC 모형(Li-Lee 모형)(2005)

ㅇ  경제, 사회적 환경이 유사한 집단의 사망률에 일정한 사망률 패턴이 존재하며 장기적으로 공통 사망률로 수렴한다는 현실적인 가정 추가

ㅇ  개별 집단의 특성을 반영한 개별효과와 집단 간 사망률 격차가 확대되지 않도록 공통효과를 반영하여 일관성(Coherent)을 고려한 사망률 예측 모형

- 남자와 여자의 사망률을 Lee-Carter모형을 이용하여 개별적으로 예측시 성별 사망률의 차이가 발산하는 현상 발생

- Coherent LC 모형은 집단간 사망률의 격차가 확대되지 않도록 공통효과를 반영

Coherent LC 모형에서 공통효과와 개별효과

출처 : 사망률 추계를 위한 오차수정 LC 모형(박유성, 장선화, 김성용, 2013)

참 고		Coherent LC 모형(Li-Lee 모형)(2005)
[eqn: ln(m _{x,t,i} )=a _{x,i} `+B _{x} K _{t} +`b _{x,i} k _{t,i} `+ϵ _{x,t,i}] 공통효과 개별효과 [eqn: m _{x,t,i}]: i번째 그룹의 시간 t에서 연령 x의 사망률 [eqn: B _{x}]: 전체 집단의 연령별 로그사망률 변화 [eqn: K _{t}]: 시간에 따른 로그사망률 수준의 변화 [eqn: b _{x,i}]: 개별 그룹 i의 연령별 로그사망률 변화 [eqn: k _{t,i}]: 시간에 따른 로그사망률 수준 변화 [eqn: b _{x,i} k _{t,i}]: i번째 그룹의 개별사망경향으로 하위 집단들의 단기적 변동을 의미 [eqn: a _{x,i}]: 그룹 i의 연령에 따른 평균적인 로그사망률의 수준

3. 비모수 추정 모형의 발전

□ Coherent Lee-Carter 모형(Li-Lee 모형)(2005) → FDM(Functional Data Model) 모형(2007)

ㅇ  측정오차와 불규칙 패턴을 교정하기 위해 함수적 자료 분석을 사용한 비모수 모형으로 발달

- 모형 구축 전에 비모수적 평활화(smoothing) 기법을 이용하여 이산형 자료를 함수형 자료로 변환

- 첫 번째 주성분으로 설명되지 않은 사망률 패턴을 포착하기 위해 추가적인 주성분을 사용하는 함수적 주성분분석을 사용

참 고		함수적 자료 분석과 FDM모형
1. 함수적 자료 분석 함수적 자료 분석은 자료가 곡선이나 함수의 형태로 나타날 때 분석하는 방법으로 시계열 자료에 적용하는 연구가 활발히 이루어지고 있음 2. 함수적 주성분 분석 함수자료의 특성을 분석하기위한 대표적인 방법으로 함수적 주성분 분석(Functional Principal Component Analysis)을 이용한다. 이 분석은 일반적인 주성분 분석과 마찬가지로 분산을 최대로 하고 서로 직교하는 주성분함수들을 찾아 함수의 증감, 최대 최소 등의 요인을 파악하여 함수자료의 주요패턴을 찾는 방법이다 3. FDM 모델링 과정 [eqn: y _{t} (x)= mu (�x)`+ sum _{j=1} ^{J} beta _{t,j} ` phi _{j} (x)+e _{t} (x)+ sigma _{t} (x)ϵ` _{t,x}] 단계1. 평활함수 [eqn: s _{t} (x)]를 비모수 회귀 방법으로 추정 단계2. 단계1의 방식으로 도출된 [eqn: s _{t} (x)]를 연도별 평균으로 [eqn: mu (x)](연령에 따른 로그사망률 평균)를 추정 단계3. [eqn: y _{t} (x)]−[eqn: {hat{mu }} (x)]의 주성분 분석를 사용해 [eqn: phi _{j} (x)]를 추정 단계4. 시계열 방법으로 [eqn: beta _{t,j}]를 추정

□ FDM 모형 (2007) → Coherent FDM 모형(2013)

ㅇ  사망률을 일정한 수준으로 유지하기 위해 사망률을 직접 모형화하는 대신 곱(product)과 비(ratio)로 지표를 생성 후 모형화

- 집단의 분산이 비슷할 경우 곱과 비는 대체로 독립이라는 점을 활용한 모형

ㅇ  비 함수에 안정 시계열이라는 조건을 추가하여 집단 간 사망률을 일정한 수준으로 유지하여 사망률이 시간이 지남에 따라 발산하지 않도록 함

참 고

Coherent FDM 모형(2013)

① 데이터 평활화

[eqn: y _{t,M} (x)=log(f _{t,M} (x))`+ sigma _{t,M} (x)ϵ _{t,M,x}]

[eqn: y _{t,F} (x)=log(f _{t,F} (x))`+ sigma _{t,F} (x)ϵ _{t,F,x}]

[eqn: y _{t,M} (x)=log(m _{t,M} (x))`], [eqn: y _{t,F} (x)=log(m _{t,F} (x))`]

[eqn: m _{t,M} (x)],[eqn: m _{t,F} (x)] : 연도 t에서 연령 x세 남자와 여자의 사망률

[eqn: f _{t,M} (x)], [eqn: f _{t,F} (x)]: 남자와 여자의 성령별 평활함수

② 곱, 비 함수 도출

[eqn: p _{t} (x)= sqrt {f _{t,M} (x) TIMES f _{t,F} (x)}]

[eqn: r _{t} (x)= sqrt {f _{t,M} (x)/f _{t,F} (x)}]

③ 함수적 시계열 모델로 모델링

[eqn: log[f _{t,j} (x)]=log[p _{t} (x)r _{t} (x)]]

[eqn: = mu _{j} (x)+ sum _{k=1} ^{K} beta _{t,k} phi _{k} (x)+ sum _{l=1} ^{L} gamma _{t,l} psi _{l} (x)+z _{t} (x)]

[eqn: log[p _{t} (x)]= mu _{p} (x)+ sum _{k=1} ^{K} beta _{t,k} phi _{k} (x)+e _{t} (x)]

[eqn: log[r _{t} (x)]= mu _{r} (x)+ sum _{l=1} ^{L} gamma _{t,l} psi _{l} (x)+w _{t} (x)]

[eqn: phi _{j} (x)], [eqn: psi _{l} (x)]: [eqn: p _{t} (x)]와 [eqn: r _{t} (x)]를 분해해서 얻은 주성분

[eqn: beta _{t,k}], [eqn: gamma _{t,l}]: 예측계수, 주성분 점수

[eqn: mu _{p} (x)], [eqn: mu _{gamma } (x)]: [eqn: log[p _{t} (x)]], [eqn: log[r _{t} (x)]]의 평균

[eqn: e _{t} (x)], [eqn: w _{t} (x)]: 평균이 0인 시계열에서 상관관계가 없는 오차항

<Coherent FDM 모델링 과정>

단계1. 각 연도 t에 대하여 연령에 따라 데이터를 평활

단계2. 기저함수 확장을 통해 피팅된 곡선을 분해

단계3. 계수[eqn: beta _{t,k}].[eqn: gamma _{t,l}]에 단변량 시계열 모델로 적합

단계4. 적합된 시계열 모델을 사용하여 계수를 예측

단계5. 예측계수를 사용하여 [eqn: p _{t} (x)]와 [eqn: r _{t} (x)]의 예측치 산출

단계6. 남자 연령별 사망률은 [eqn: p _{t} (x)]와 [eqn: r _{t} (x)]의 예측치를 곱하고, 여자의 연령별 사망률은 나누어 구함

4. 전문가 견해를 반영하여 추정하는 기법

□ Coherent FDM 모형 (2013) → UN모형(2015)

ㅇ  최근 특정 수학적 통계 모형에 의존하는 것보다 전문가들의 견해를 반영하여 미래 사망률을 예측하는 베이지안 접근법이 확산

- UN모형(2013~2015)은 미래 예측 시나리오를 작성하는 과정에서 전문가의 의견을 반영하여 기대수명을 전망하여 연령별 사망률을 산출

UN의 기대수명 증가 모형(예시)

출처 : Raftery et al. (2013)

ㅇ 빈도주의적인 모형의 “모집단에서 반복 시행”이라는 어려운 가정이 아니라 전문가의 예측을 반영하여 사망률의 사전 특성을 고려하여 산출 가능

빈도주의(frequentism) 통계학	베이지안(Bayesian) 통계학
분포에서 모수는 고정되어 있고 분포로부터 다양한 자료를 확률적으로 산출 예) 10번 중 앞면이 5번 나왔을 때 p에 대한 추정은 0.5가 됨	자료를 고정된 것으로 가정하고 모수를 확률적인 것으로 취급 예) 10번 중 앞면이 5번 나왔을 때, 하나의 고정된 p에서 산출된 자료가 아니고 서로 다른 p값에서 이 자료가 산출되었다고 가정

Ⅲ		시사점

□ 요율 산출 과정에서 데이터 전처리하는 작업이 필요

ㅇ  실제로 데이터 분석 과정에서 데이터를 전처리하는 작업이 전체의 80~90%시간을 차지함

ㅇ  데이터의 상태와 가치를 파악하여 데이터를 사용하는 목적에 맞게 데이터를 가공하고 이상치를 찾는 등 데이터 전처리 과정을 통해 자료의 품질을 높이는 것이 중요

□ 여러 집단을 나누어 요율 산출시 집단 간의 연관성 고려

ㅇ  성별·지역 등 인구집단이 2개 이상인 경우 공통영향과 개별영향을 구분하여 예측할 경우 설명력을 높일 수 있음

ㅇ  집단 간 위험률 패턴에 존재하는 관계성을 고려하여 위험률에 대해서 일관성 있는 예측을 하여 하위집단에 대한 위험률이 발산하지 않도록 함

□ 비모수기법은 모집단에 대해 엄격한 가정을 하지 않으므로 가정에 대한 오류를 줄일 수 있음에 따라 최근 비모수기법 적용 활발

ㅇ  최근 연구*에 따르면, 자료의 추세를 잘 반영하는 비모수기법을 활용한 모형의 예측력이 우수함

* A study comparison of mortality projection using parametric and non-parametric model(2017)

ㅇ  한국보건사회연구원의 연구보고서*에 따르면, 함수적 자료 분석 모형의 예측 정확성이 상대적으로 높은 것으로 나타남

* 인구추계 방법론의 현황과 평가(2016)

□ 전문가 견해 반영이 가능한 베이지안접근법으로 예측력 높은 요율 산출 가능

ㅇ  과거 데이터를 기반한 수학적인 모형으로는 미래의 불확실성을 반영하기 어렵지만, 특정 분야에 전문지식을 가지고 있는 전문가는 불확실성을 인지하고 있어 예측력 향상 가능

ㅇ  예를 들어, 유럽의 경우 전문가 패널 회의를 통해 미래 출산력을 전망한 후 전체의 출산율을 예측